ارتباط قضیه نگاشت هم بردار و همگرایی روش های شبه طیفی برای مسایل کنترل بهینه

در این تحقیق‏، یکی از روش های حل مسایل کنترل بهینه ی غیرخطی مقید مورد بررسی و مطالعه قرار می گیرد. دو عمل مختلف جهت حل این مسایل قابل اجراست: ‎1- عمل دوگانه سازی‏، 2- عمل گسسته سازی. ‎‎ در حالت کلی این دو عمل جابجایی پذیر‎‎ نیستند. یک مجموعه شرایط بستار معرفی می شود تا جابجایی پذیری این عمل ها را امکان پذیر سازد. ‎‎یکی از نتایج مهم شرایط بستار، ‎"قضیه ی نگاشت هم بردار"‎‎‎‎ است که تبدیل ضرایب لاگرانژ وابسته به‎ مساله ی گسسته، به هم بردارهای گسسته شده ی وابسته به مساله ی کنترل بهینه ی اصلی را فراهم می کند. در این تحقیق‏، ابتدا گسسته سازی مساله ی بولزا را با روش شبه طیفی لژاندر به طور ویژه با به کارگیری نقاط گره ای لژاند‎ر‎-‎گاو‎س‎-‎لباتو‎‎‎‎ و توابع وزن متناظرشان بررسی می کنیم. با این کار‏، مساله به یک مساله ی برنامه ریزی غیرخطی‎‎‎‎‎‎ گسسته تبدیل می شود. حل این مساله ی غیرخطی‏، تقریب هایی برای متغیرهای کنترل و وضعیت مساله و جواب بهینه ی مساله به دست می دهد.‎ پس از آن‏‏، عبارت لاگرانژی مساله ی گسسته را تشکیل می دهیم و با بیان شرایط بهینگی کروش-کان-تاکر‎‎‎‎ برای این مساله، جواب‎‎های این مساله را نیز به دست‎‎‎‎ می آوریم. در نهایت با کمک قضیه ی نگاشت هم بردار‏، تقریب هایی نیز برای متغیر هم‎وضعیت مساله حاصل می شود. ‎‎‎‎ علاوه بر معرفی رو‎ش‎ عددی برای حل مسایل کنترل بهینه‏، قضایایی پیرامون همگرایی جواب مساله ی کنترل بهینه ی گسسته شده به جواب پیوسته بیان گردیده و شرایطی برای همگرایی متغیرهای دوگان توصیف می شود. برای روشن ساختن مطالب‏، چند مثال عددی و به طور ویژه مساله ی ‎‎‎ "بریک ویل ‎" ارائه می شود.